Question

如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，分别延长AB和DC，它们相交于P，若∠APD=60°，AB=5，PC=4，则⊙O的面积为（　　）

• A、25π
• B、16π
• C、15π
• D、13π

Answer 1

分析：连接AC，由圆周角定理可得出∠ACD=90°，再由圆内接四边形的性质及三角形内角和定理可求出∠PAC=30°，由直角三角形的性质可求出AP、AC的长，由相似三角形的判定定理及性质可得出CD的长，再根据勾股定理接可求出AD的长，进而求出该圆的面积．

解答：解：连接AC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠APD=60°，
∴∠PAC=30°，
∴AP=2PC=2×4=8，
∵AB=5，
∴PB=8-5=3，
∵四边形ABCD是以AD为直径的圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，∠APD=∠APD，
∴△PCB∽△PAD，
∴

PC

AP

=

PB

PD

，即

4

8

=

3

PD

，PD=6，
∴CD=PD-PC=6-4=2，
∴AC=

AP2-PC2

=

82-42

=4

3

，
在Rt△ACD中，AD=

AC2+CD2

=

(4 3 )2+22

=2

13

．
∴OA=

1

2

AD=

13

，
∴⊙O的面积=π×（

13

）²=13π．
故选D．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形求解．