Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为M，与x轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b．若关于x的一元二次方程（m-a）x²+2bx+（m+a）=0有两个相等的实数根．
（1）判断△ABM的形状，并说明理由．
（2）当顶点M的坐标为（-2，-1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形．
（3）若平行于x轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与x轴相切，求该圆的圆心坐标．

Answer 1

解：（1）令△=（2b）²-4（m-a）（m+a）=0
得a²+b²=m²
由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知
△ABM是一个以a、b为直角边的等腰直角三角形；

（2）设y=a（x+2）²-1
∵△ABM是等腰直角三角形
∴斜边上的中线等于斜边的一半
又顶点M（-2，-1）
∴AB=1，即AB=2
∴A（-3，0），B（-1，0）
将B（-1，0）代入y=a（x+2）²-1中得a=1
∴抛物线的解析式为y=（x+2）²-1，即y=x²+4x+3
图象如图：

（3）设平行于x轴的直线为y=k
解方程组
得，（k＞-1）
∴线段CD的长为
∵以CD为直径的圆与x轴相切
据题意得
∴k²=k+1
解得
∴圆心坐标为（-2，）和（-2，）．
分析：（1）由于关于x的一元二次方程（m-a）x²+2bx+（m+a）=0有两个相等的实数根，利用一元二次方程的判别式可以得到△=（2b）²-4（m-a）（m+a）=0，进一步得到a²+b²=m²，由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性从而确定三角形△ABM的形状；
（2）把二次函数解析式设为y=a（x+2）²-1，由（1）知道△ABM是等腰直角三角形，而斜边上的中线等于斜边的一半，又顶点M（-2，-1），所以AB=1，即AB=2，从而求出A，B的坐标，把B的坐标代入y=a（x+2）²-1就可以求出a，也就求出了抛物线的解析式，再根据解析式画出图象；
（3）设平行于x轴的直线为y=k，可以得到方程组，解方程组得到，（k＞-1），可以得到线段CD的长为，又以CD为直径的圆与x轴相切，所以，解此方程求出k，就可以求出该圆的圆心坐标了．
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，等腰直角三角形的性质，抛物线的对称性，直线与圆相切等知识，综合性强，能力要求极高．