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精英家教网如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC与E,交BC与D.求证:
(1)D是BC的中点;
(2)△BEC∽△ADC;
(3)BC2=2AB•CE.
分析:(1)要证D是BC的中点,已知AB=AC,即证AD⊥BC即可,根据圆周角定理,AB是直径,所以∠ADB=90°,即可得证.
(2)欲证△BEC∽△ADC,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等,即∠AEB=∠ADC=90°,此时,再求另一角对应相等即可.
(3)由△BEC∽△ADC可证CD•BC=AC•CE,又D是BC的中点,AB=AC,即可证BC2=2AB•CE.
解答:证明:(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
即AD是底边BC上的高,(1分)
又∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,
∴D是BC的中点;(3分)

(2)∵∠CBE与∠CAD是
DE
所对的圆周角,
∴∠CBE=∠CAD,(5分)
又∵∠BCE=∠ACD,
∴△BEC∽△ADC;(6分)

(3)由△BEC∽△ADC,知
CD
CE
=
AC
BC

即CD•BC=AC•CE,(8分)
∵D是BC的中点,
∴CD=
1
2
BC,
又∵AB=AC,
∴CD•BC=AC•CE=
1
2
BC•BC=AB•CE,
即BC2=2AB•CE.(10分)
点评:本题考查相似三角形的判定和性质.识别两三角形相似,除了要掌握定义外,还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等.
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