题目内容
【题目】如图①所示,在△ABC中,点O是AC上一点,过点O的直线与AB,BC的延长线分别相交于点M,N.
【问题引入】
(1)若点O是AC的中点, ,求的值;
温馨提示:过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
【探索研究】
(2)若点O是AC上任意一点(不与A,C重合),求证: ;
【拓展应用】
(3)如图②所示,点P是△ABC内任意一点,射线AP,BP,CP分别交BC,AC,AB于点D,E,F.若, ,求的值.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】试题分析:(1)作AG∥MN交BN延长线于点G,证△ABG∽△MBN得,
即,同理可证△ACG∽△OCN得,结合AO=CO,得NG=CN,从而由进行求解,
(2)由,可知: ,
(3)由(2)可知,在△ABD中有, 在△ACD中有,
从而,因此可得: .
(1)解:过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.∵ON∥AG,∴=.∵O是AC的中点,∴AO=CO,∴NG=CN.∵MN∥AG,∴=,∴===.
(2)证明:由(1)可知=,=,∴··=··=1.
(3)解:在△ABD中,点P是AD上一点,过点P的直线与AB,BD的延长线分别相交于点F,C.由(2)可得··=1.在△ACD中,过点P的直线与AC,CD的延长线分别相交于点E,B.由(2)可得··=1.∴··=··,∴=·=×=.