Question

如图，直线y₁=kx+b经过点P（5，3），且分别与已知直线y₂=3x交于点A、与x轴交于点B．设点A的横坐标为m（m＞1且m≠5）．
（1）用含m的代数式表示k；
（2）写出△AOB的面积S关于m的函数解析式；
（3）在直线y₂=3x上是否存在点A，使得△AOB面积最小？若存在，请求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得A点坐标，由斜率定义得斜率k；
（2）将P点坐标代入解析式得到m，再另y=o，得到点B坐标，然后可得到面积函数；
（3）由函数性质可得答案．

解答：解：（1）由题意得，A点坐标为（m，3m），
由斜率定义得，k=

3m-3

m-5

．

（2）所以y₁=

3m-3

m-5

x+b，
将P（5，3）代入直线方程解得，b=

-12m

m-5

，
令y₁=0得，x=

12m

3m-3

，
S_AOB=

1

2

•

12m

3m-3

•3m．

（3）由（2）得，S_AOB=

6m2

m-1

，当m趋近于无穷大时，有最小值6．

点评：本题涉及一次函数的综合应用，难度中上