Question

如图，已知抛物线y=

1

2

x2+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连接DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由于抛物线经过A（2，0），C（0，-1），
则有：

1 2 ×4+2b+c=0 c=-1

，
解得

b=- 1 2 c=-1

；
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x2-

1

2

x-1．

（2）∵A（2，0），C（0，-1），
∴直线AC：y=

1

2

x-1；
设D（x，0），则E（x，

1

2

x-1），
故DE=0-（

1

2

x-1）=1-

1

2

x；
∴△DCE的面积：S=

1

2

DE×|x_D|=

1

2

×（1-

1

2

x）×x=-

1

4

x²+

1

2

x=-

1

4

（x-1）²+

1

4

，
因此当x=1，
即D（1，0）时，△DCE的面积最大，且最大值为

1

4

．

（3）由（1）的抛物线解析式易知：B（-1，0），
可求得直线BC的解析式为：y=-x-1；
设P（x，-x-1），因为A（2，0），C（0，-1），则有：
AP²=（x-2）²+（-x-1）²=2x²-2x+5，
AC²=5，CP²=x²+（-x-1+1）²=2x²；
①当AP=CP时，AP²=CP²，有：
2x²-2x+5=2x²，解得x=2.5，
∴P₁（2.5，-3.5）；
②当AP=AC时，AP²=AC²，有：
2x²-2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，
∴P₂（1，-2）；
③当CP=AC时，CP²=AC²，有：
2x²=5，解得x=±

10

2

，
∴P₃（

10

2

，-

10

2

-1），P₄（-

10

2

，

10

2

-1）；
综上所述，存在符合条件的P点，且P点坐标为：P₁（2.5，-3.5）、P₂（1，-2）、P₃（

10

2

，-

10

2

-1）、P₄（-

10

2

，

10

2

-1）．