Question

【题目】如图，点B、C、D都在半径为4的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，OC交BD于E，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∵∠CDB=∠OBD，

∴CD∥AB，

又∵AC∥BD，

∴四边形ABDC为平行四边形，

∴∠A=∠D=30°，

∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC，

又∵OC是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线

（2）解：由（1）知，OC⊥AC．

∵AC∥BD，

∴OC⊥BD，

∴BE=DE，

∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=4，

∴BE=OBcos30°=2 ，

∴BD=2BE=4

【解析】（1）根据圆周角的性质求得∠COB=2∠CDB=60°，然后证明四边形ABDC为平行四边形，从而证得∠A=∠D=30°，根据三角形的内角和定理证得∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC，从而证得AC是⊙O的切线；（2）根据平行线的性质得出∠OBD=30°，∠BEO=90°，然后通过直角三角函数即可求得BE，根据垂径定理从而求得BD的长．