Question

【题目】如图1，P（m，n）是抛物线y=-1上任意一点，l是过点（0，-2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．

【探究】

（1）填空：当m=0时，OP= ，PH= ；当m=4时，OP= ，PH= ；

【证明】

（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．

【应用】

（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=-1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．（2）OP=PH．证明见解析．（3）6．

【解析】

试题（1）m记为P点的横坐标．m=0时，直接代入x=0，得P（0，-1），则OP，PH长易知．当m=4时，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=yP-（-2）．

（2）猜想OP=PH．证明时因为P为所有满足二次函数y=-1的点，一般可设（m，-1）．类似（1）利用勾股定理和PH=yP-（-2）可求出OP与PH，比较即得结论．

（3）考虑（2）结论，即函数y=-1的点到原点的距离等于其到l的距离．要求A、B两点到l距离的和，即A、B两点到原点的和，若AB不过点O，则OA+OB＞AB=6，若AB过点O，则OA+OB=AB=6，所以OA+OB≥6，即A、B两点到l距离的和≥6，进而最小值即为6．

试题解析：（1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．

如图1，记PH与x轴交点为Q，

当m=0时，P（0，-1）．此时OP=1，PH=1．

当m=4时，P（4，3）．此时PQ=3，OQ=4，

∴OP==5，PH=yP-（-2）=3-（-2）=5．

（2）猜想：OP=PH．

证明：过点P作PQ⊥x轴于Q，

∵P在二次函数y=-1上，

∴设P（m，-1），则PQ=|-1|，OQ=|m|，

∵△OPQ为直角三角形，

∴OP=，

PH=yP-（-2）=（-1）-（-2）=，

∴OP=PH．

（3）解：如图2，连接OA，OB，过点A作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，此时AC即为A点到l的距离，BD即为B点到l的距离．

①当AB不过O点时，连接OA，OB，

在△OAB中，OA+OB＞AB=6，

由上述结论得：AC=OA，BD=OB，

∴AC+BD＞6；

②当AB过O点时，AC+BD=OA+OB=AB=6，

所以AC+BD的最小值为6，

即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6．