题目内容

【题目】如图,直线l:y=﹣x+1与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P,Q是直线l上的两个动点,且点P在第二象限,点Q在第四象限,∠POQ=135°.

(1)求△AOB的周长;

(2)设AQ=t>0,试用含t的代数式表示点P的坐标;

(3)当动点P,Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时,记tan∠AOQ=m,若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件:

①6a+3b+2c=0;

②当m≤x≤m+2时,函数y的最大值等于,求二次项系数a的值.

【答案】(1) △AOB周长为2+(2) P(﹣,1+).(3) a的值为或﹣2﹣2.

【解析】

试题分析:(1)先求出A、B坐标,再求出OB、OA、AB即可解决问题.(2)由△PBO∽△OAQ,得=,求出PB,再根据等腰直角三角形性质可以求得点P坐标.(3)先求出m的值,分①a>0,②a<0,两种情形,利用二次函数性质分别求解即可.

试题解析:(1)在函数y=﹣x+1中,令x=0,得y=1,

∴B(0,1),

令y=0,得x=1,

∴A(1,0),

则OA=OB=1,AB=

∴△AOB周长为1+1+=2+

(2)∵OA=OB,

∴∠ABO=∠BAO=45°,

∴∠PBO=∠QAO=135°,

设∠POB=x,则∠OPB=∠AOQ=135°﹣x﹣90°=45°﹣x,

∴△PBO∽△OAQ,

=

∴PB==

过点P作PH⊥OB于H点,

则△PHB为等腰直角三角形,

∵PB=

∴PH=HB=

∴P(﹣,1+).

(3)由(2)可知△PBO∽△OAQ,若它们的周长相等,则相似比为1,即全等,

∴PB=AQ,

=t,

∵t>0,

∴t=1,

同理可得Q(1+,﹣),

∴m==﹣1,

∵抛物线经过点A,

∴a+b+c=0,

又∵6a+3b+2c=0,

∴b=﹣4a,c=3a,

对称轴x=2,取值范围﹣1≤x+1,

①若a>0,则开口向上,

由题意x=﹣1时取得最大值=2+2,

即(﹣1)2a+(﹣1)b+c=2+2,

解得a=

②若a<0,则开口向下,

由题意x=2时取得最大值2+2,

即4a+2b+c=2+2,

解得a=﹣2﹣2.

综上所述所求a的值为或﹣2﹣2.

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