Question

如图1，等腰△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜60°）得到△AB₁C₁，连结BB₁，AB₁交BC于E点，B₁C₁分别交BC、AC于D、F两点．
（1）求证：△ABE≌△AC₁F；
（2）当旋转角α=40°时，判断BE与BB₁数量关系，请说明理由；
（3）如图2，连结AD，当旋转角α为何值时，判断此时四边形ABDC₁是菱形，请说明理由．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=∠C₁=∠AB₁C₁=30°，求出∠BAE=∠C₁AF，根据ASA推出△ABE≌△AC₁F即可．
（2）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠ABB₁=∠AB₁B=70°，根据三角形外角性质求出∠BEB₁=70°，推出∠BEB₁=∠B₁即可．
（3）当旋转角α为30°时，四边形ABDC₁是菱形，求出∠BAC₁=150°，根据平行线的判定推出AC₁∥BC，AB∥C₁D，根据菱形的判定推出即可．

解答：（1）证明：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=∠C₁=∠AB₁C₁=30°，
∵∠BAC=∠B₁AC₁=120°，
∴都减去∠B₁AC得：∠BAE=∠C₁AF，
在△ABE和△AC₁F中，

∠ABE=∠C1 AB=AC′ ∠BAE=∠FAC1

，
∴△ABE≌△AC₁F（ASA）．

（2）解：BE=BB₁，
理由是：∵α=40°，
∴∠BAE=40°，
∵AB=AB₁，
∴∠ABB₁=∠AB₁B=

1

2

×（180°-40°）=70°，
∵∠BAE=40°，∠ABC=30°，
∴∠BEB₁=30°+40°=70°，
∴∠BEB₁=∠B₁，
∴BE=BB₁．

（3）解：当旋转角α为30°时，四边形ABDC₁是菱形，
理由是：如图②，∵α=30°，
∴∠BAC₁=120°+30°=150°，
∵∠B=∠C₁=30°，
∴∠B+∠BAC₁=180°，∠C₁+∠BAC₁=180°，
∴AC₁∥BC，AB∥C₁D，
∴四边形ABDC₁是平行四边形，
∵AB=AC₁，
∴四边形ABDC₁是菱形．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．