题目内容
如图,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,点D是弧![]() |
ABC |
(1)图中有哪些相等的线段;(要求:不再标注其他字母,找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中,不写推理过程)
(2)若过点E作⊙O的切线ME,交AC延长线于点M(请补完整图形),试问.ME=MG是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)在满足第(2)问的条件下,已知AF=3,FB=
4 |
3 |

分析:(1)图中相等的应该有半径AO=OB,根据垂径定理有:AF=EF,
=
,由于
=
,因此
=
=
,那么如果连接EC,∠DEC=∠ACE,CG=GE,
=
,那么
=
,因此DE=AC,于是AG=GD,因此图中应该有5对相等的线段;
(2)可通过角的关系来判断边的关系,根据EM是圆O的切线,如果我们连接AD、AE,那么∠GEM=∠EAD,现在的关键是证明∠MGE=∠EAD,因为∠MGE=∠EAG+∠DEA,∠DAE=∠EAG+∠DAG,如果要得出∠DAG=∠DEA的话,就能得出∠MGE=∠MEG的结论,而题中告诉了于
=
,因此这两个角就相等了.由此便可根据等角对等边来得出ME=MG;
(3)知道了AF、BF的长也就知道了AB、AC的长,现在AG、AC、AF、AB都在相似三角形AEG和ACB中,那么可根据这些线段的比例关系求出AG的长,有了AG的长,AC的长,也就求出了GC的长,下面求MG的长,由(2)知ME=MG,那么根据切割线定理可得:ME2=MC•MA,而ME=MG,MC=MG-GC,MA=MG+AG,已求得了AG、GC的长,那么将等量关系中的相等值进行置换后可得出MG的长.
![]() |
AD |
![]() |
AE |
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AD |
![]() |
CD |
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AD |
![]() |
AE |
![]() |
CD |
![]() |
AE |
![]() |
CD |
![]() |
AEC |
![]() |
DCE |
(2)可通过角的关系来判断边的关系,根据EM是圆O的切线,如果我们连接AD、AE,那么∠GEM=∠EAD,现在的关键是证明∠MGE=∠EAD,因为∠MGE=∠EAG+∠DEA,∠DAE=∠EAG+∠DAG,如果要得出∠DAG=∠DEA的话,就能得出∠MGE=∠MEG的结论,而题中告诉了于
![]() |
AD |
![]() |
CD |
(3)知道了AF、BF的长也就知道了AB、AC的长,现在AG、AC、AF、AB都在相似三角形AEG和ACB中,那么可根据这些线段的比例关系求出AG的长,有了AG的长,AC的长,也就求出了GC的长,下面求MG的长,由(2)知ME=MG,那么根据切割线定理可得:ME2=MC•MA,而ME=MG,MC=MG-GC,MA=MG+AG,已求得了AG、GC的长,那么将等量关系中的相等值进行置换后可得出MG的长.
解答:解:(1)AO=OB,DF=EF,AC=DE,AG=DG,CG=GE;
(2)ME=MG成立,
证明:连接AD、AE,
∵
=
,
∴∠DEA=∠CAD,
∵∠EGM=∠DEA+∠EAM,
∴∠EGM=∠EAM+∠CAD=∠EAD;
∵EM是⊙O的切线,
∴∠GEM=∠EAD,
∴∠EGM=∠GEM,
∴ME=MG;
(3)连接BC,
∵DF⊥AB,AF=3,FB=
,
∴DF2=AF•FB=4,
∴DF=2;
由(1)知:AC=DE=2DF=4,
由Rt△ABC∽Rt△AGF,得:
=
?AG=
=
=
由切割线定理得:EM2=MC•MA,即MG2=(MG-GC)(MG+AG)
∴MG2=[MG-(4-
)](MG+
)
∴MG=
.
(2)ME=MG成立,

证明:连接AD、AE,
∵
![]() |
AD |
![]() |
CD |
∴∠DEA=∠CAD,
∵∠EGM=∠DEA+∠EAM,
∴∠EGM=∠EAM+∠CAD=∠EAD;
∵EM是⊙O的切线,
∴∠GEM=∠EAD,
∴∠EGM=∠GEM,
∴ME=MG;
(3)连接BC,
∵DF⊥AB,AF=3,FB=
4 |
3 |
∴DF2=AF•FB=4,
∴DF=2;
由(1)知:AC=DE=2DF=4,
由Rt△ABC∽Rt△AGF,得:
AG |
AB |
AF |
AC |
AB•AF |
AC |
(3+
| ||
4 |
13 |
4 |
由切割线定理得:EM2=MC•MA,即MG2=(MG-GC)(MG+AG)
∴MG2=[MG-(4-
13 |
4 |
13 |
4 |
∴MG=
39 |
40 |
点评:本题主要考查了切线的性质,相似三角形的性质以及圆周角定理,垂径定理等知识点的综合应用,根据圆周角得出弧相等进而得出相关的角相等是解题的关键.

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