Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AB=10，点P在AB的延长线上，直线PC与⊙O交于C、D两点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，且CE=4，连接AC、OC．
（1）求∠A的余切值；
（2）如果OC平分∠PCE，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）根据相似三角形的判定得出△ACE∽△CBE，进而求出AE即可得出∠A的余切值；
（2）利用角平分线的性质得出EO=MO，进而利用勾股定理得出CM的值，即可得出CD的长．

解答：解：（1）如图1，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠A+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴

CE

AE

=

BE

CE

，
∴

4

AE

=

10-AE

4

，
解得：AE=2或8（结合图形，不合题意舍去），
∴∠A的余切值为：cotA=

AE

CE

=

2

4

=

1

2

；

（2）如图2，过点O作OM⊥CD于点M，
∵OC平分∠PCE，CE⊥AO，OM⊥CD，
∴EO=MO，
∵AE=2，∴EO=AO-AE=5-2=3，MO=3，
CO=

1

2

AB=5，
∴CM=

CO2-MO2

=4，
∴CD=4×2=8．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定和锐角三角函数以及勾股定理等知识，正确作出OM⊥CD这条辅助线得出MO的长度是解题关键．