Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD, CD=6，BC=4，∠ABD =∠C，P是CD上的一个动点(P不与点C点D重合),且满足条件:∠BPE =∠C, 交BD于点E.

（1） 求证：△BCP∽△PDE；

（2）如果CP= x , BE=y，求y与x之间的函数关系式；

（3）P点在运动过程中，△BPE能否成为等腰三角形，若能，求 x的值 ，若不能，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2） （3）当x=2或 时，△BPE为等腰三角形

【解析】（1）根据已知条件先得出∠BPD =∠PBC+∠C，然后求出∠PBC =∠EPD即可得证；

（2）由（1）的结论得出，把CP= x ,，BE=y，BD=BC=4，CD=6代入此式即可求出y与x之间的函数关系式；（3）分当BP=PE，则△BCP≌△PDE，求出x，当BE=PE，证出△BEP∽△CBD求出x；当BP=BE，可推出∠BPE=∠PEB>∠CDB，矛盾.

解：(1)证明:因为AB∥DC，所以∠ABD=∠BDC

因为∠ABD =∠C，所以∠BDC =∠C

因为∠BPD =∠BPE+∠EPD

∠BPD =∠PBC+∠C

又因为∠BPE =∠C

所以∠PBC =∠EPD

所以△BCP∽△PDE

(2) 因为△BCP∽△PDE

所以,

因为CP= x , BE=y，BD=BC=4,CD=6

所以DP= 6 - x , DE= 4 – y

所以,

所以

(3)(ⅰ)若BP=PE，则△BCP≌△PDE，

所以PD=BC=4,所以x=2

(ⅱ)若BE=PE，则∠BPE=∠PBE=∠C=∠CDB，

所以△BEP∽△CBD，PE：PB=BC：CD=2：3

又因为PD：BC=PE：PB

即（6-x）：4=2：3，

所以x=

(ⅲ)若BP=BE，则∠BPE=∠PEB>∠CDB，矛盾.

所以，当x=2或时，△BPE为等腰三角形.

“点睛”此题考查了相似三角形的判定（平行于三角形一边的直线截另两边所得三角形与原三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）．此题很简单，解题时要注意细心．