Question

【题目】如图，点P在∠MAN内，PA平分∠MAN，PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，点D是射线AM上点B右侧的一个定点．

（1）作经过A，P，D三点的圆；（保留作图痕进，不写作法）

（2）设圆与AN交于点E，∠MAN＝60°，PA＝4，求AE+AD的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

（1）作AP和AD的垂直平分线，两条直线的交点即为过A、P、D三点的圆心；

（2）连接PE、PD证明△PCE与△PBD全等即可求解．

解：（1）如图所示：

作AP和AD的垂直平分线，两条线相交于点O，

以点为圆心，OA为半径的圆即为所求作的图形；

（2）连接PE、PD，

∵PA平分∠MAN，PB⊥AD于点B，PC⊥AN于点C，

∴PB＝PC，

在圆中，∵∠EAP＝∠DAP，

∴PE＝PD，

在△PCE和△PBD中，

∵∠PCE＝∠PBD＝90°，PB＝PC，PE＝PD．

∴Rt△PCE≌Rt△PBD（HL）．

∴CE＝BD．

∵∠MAN＝60°，PA平分∠MAN，

∴∠PAB＝30°，PA＝4，

∴AB＝2，

∴AE+AD＝2AB＝4．