题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣8，3），B（﹣4，0），C（﹣4，3），∠ABC=α°．抛物线
经过点C，且对称轴为x=
，并与y轴交于点G．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位，使B点移到点E，然后将三角形绕点E顺时针旋转α°得到△DEF．若点F恰好落在抛物线上．
①求m的值；
②连接CG交x轴于点H，连接FG，过B作BP∥FG，交CG于点P，求证：PH=GH．
【答案】（1）
，点G（0，
）；（2）①m=
；②证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）把点C坐标代入
得一方程，利用对称轴公式得另一方程，组成方程组求出解析式，并求出G点的坐标；
（2）①作辅助线，构建直角△DEF斜边上的高FM，利用直角三角形的面积相等和勾股定理可表示F的坐标，根据点F在抛物线上，列方程求出m的值；
②F点和G点坐标已知，可以求出直线FG的方程，那么FG和x轴的交点坐标（设为Q）可以知道，C点坐标已知，CG的方程也可以求出，那么H点坐标可以求出，可以证明△BPH和△MGH全等．
试题解析：（1）根据题意得：
，解得：
，∴抛物线的解析式为：，点G（0，）；
（2）①过F作FM⊥y轴，交DE于M，交y轴于N，由题意可知：AC=4，BC=3，则AB=5，FM=
，∵Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位，使B点移到点E，∴E（﹣4+m，0），OE=MN=4﹣m，FN=﹣（4﹣m）=m﹣
，在Rt△FME中，由勾股定理得：EM=
=
，∴F（m﹣，），∵F抛物线上，∴=
，
，
=﹣2（舍），
=；
②易求得FG的解析式为：
，CG解析式为：
，∴
，x=1，则Q（1，0），
，x=﹣1.5，则H（﹣1.5，0），∴BH=4﹣1.5=2.5，HQ=1.5+1=2.5，∴BH=QH，∵BP∥FG，∴∠PBH=∠GQH，∠BPH=∠QGH，∴△BPH≌△QGH，∴PH=GH．
