Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围 ．

Answer 1

【答案】（1）C的坐标为（3，0），；（2）不存在；（3）0≤|QA﹣QO|≤4．

【解析】

试题分析：（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；

点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；

由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6．

∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8﹣x，由勾股定理得：x=3，∴点C的坐标为（3，0）

将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；

（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；

（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA﹣QO|=|QA﹣QH|．当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，|QA﹣QO|取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，|QA﹣QO|取得最小值0．

试题解析：（1）点C的坐标为（3，0）．∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得，∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为；

（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为（，），设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+6．

设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．

解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．

∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．

解得x=．经检验x=是原方程的解．此时点P的坐标为（，）．

但此时OM=，GA=，OM＜GA．∵OP=，AD=，∠POM=∠GAD，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P．

解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由OE==4，可得E点的坐标为（4，0）．

NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG．∴点P的坐标为（，）．

∵x=时，-2x+6=1≠，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P．

（3）|QA﹣QO|的取值范围是0≤|QA﹣QO|≤4．

当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH的解析式为：，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．