Question

如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为，直线与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．
（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，若直线l绕点A顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l也恰好与⊙B第一次相切，见图（2）求B₁的坐标以及直线AC绕点A每秒旋转多少度？
（3）若直线l不动，⊙B沿x轴负方向平移过程中，能否与⊙O与直线l同时相切？若相切，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直线的解析式，易得AC的坐标，进而可得OA、OC的关系，由三角函数的定义可得∠CAO的大小；
（2）设相切时，MN=t，易得ON，MN的值，进而可得∠AB₁O=∠NAB₁，故PA∥B₁O；
易得在Rt△NOB₁中，∠1=90°，即可得出答案；
（3）先假设能，且设⊙B与⊙O第二次相切时⊙B的圆心为B₂，作B₂E⊥AC于E．
易得四边形B₂EHO为平行四边形，此时⊙B与直线l同时相切．
解答：解：（1）直线．
当x=0时，y=-；当y=0，时，x=-，
所以A（，0）．
∵C（0，），
∴OA=OC，
∵OA⊥OC，
∴∠CAO=45°．

（2）如图，设⊙B平移t秒到⊙B₁处与⊙O第一次相切，
此时，直线l旋转到l₁恰好与⊙B₁第一次相切于点P，⊙B₁与x轴相切于点N，连接B₁O，B₁N．
则MN=t，OB₁=，B₁N=1，B₁N⊥AN．
∴ON=1，
∴MN=3，即t=3．
连接B₁A，B₁P，则B₁P⊥AP，B₁P=B₁N，
∴∠PAB₁=∠NAB₁．
∵OA=OB₁=，
∴∠AB₁O=∠NAB₁．
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠1=90°．
∴直线AC绕点A平均每秒旋转270°÷3=90°．

（3）能，设⊙B与⊙O第二次相切时⊙B的圆心为B₂，作B₂E⊥AC于E，作OH⊥AC于H．
∵△OAC为等腰直角三角形，且OA=OC=，
∴根据勾股定理得到AC=2，
又OH⊥AC，
∴OH为斜边AC上的中线，
∴OH=AC=1，
∴OH=B₂E=1，
∵B₂E⊥l，OH⊥l，
∴B₂E∥OH，
∵四边形B₂EHO为平行四边形，
则B₂E=OH=1，
故此时⊙B与圆0与直线l同时相切．
点评：本题考查直线与圆的位置关系．要求学生有一定的数形结合的能力，即结合图形分析，进行代数计算，得出答案．