Question

【题目】已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．

（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是　 　．线段AM、BN、MN之间的数量关系是 　；

（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是　 　．试证明你的猜想；

（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是　 　．（不要求证明）

Answer 1

【答案】（1）是等腰直角三角形，（或）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据折叠的性质知：，；由全等三角形性质得，，故是等腰直角三角形，（或）．

（2）将沿CM折叠，得，连DN，则，由全等三角形性质得，，，同理可知，

，，而，，由勾股定理得，故．（3）；解法同（2）．

解：（1）根据折叠的性质知：，；

∴，，，；

∴，，

故是等腰直角三角形，（或）．

（2）；

将沿CM折叠，得，连DN，则，

∴，，，同理可知，

，，而，，∴，

∴，故．

（3）；解法同（2）．