题目内容
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分析:先连接CE,由于AB=AC,AD⊥BC,利用等腰三角形三线合一定理可得BE=CE,再利用等边对等角可知∠EBC=∠ECB,易证∠ABE=∠ACE,结合CG∥AB,利用平行线的性质,可证∠CGF=∠FCE,再加上一组公共角,可证△CEF∽△GEC,于是CE2=EF•EG,从而有BE2=EF•EG.
解答:
解:连接CE,如右图所示,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD是∠BAC的角平分线,
∴BE=CE,
∴∠EBC=∠ECB,
又∵∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB,
即∠ABE=∠ACE,
又∵CG∥AB,
∴∠ABE=∠CGF,
∴∠CGF=∠FCE,
又∠FEC=∠CEG,
∴△CEF∽△GEC,
∴CE:EF=EG:CE,
即CE2=EF•EG,
又CE=BE,
∴BE2=EF•EG.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201103/5/43167e5c.png)
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD是∠BAC的角平分线,
∴BE=CE,
∴∠EBC=∠ECB,
又∵∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB,
即∠ABE=∠ACE,
又∵CG∥AB,
∴∠ABE=∠CGF,
∴∠CGF=∠FCE,
又∠FEC=∠CEG,
∴△CEF∽△GEC,
∴CE:EF=EG:CE,
即CE2=EF•EG,
又CE=BE,
∴BE2=EF•EG.
点评:本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质.关键是能根据所证连接CE.
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