Question

如图，直线y=

2

3

x+b与x轴相交于点A（-3，0），与y轴相交于点B，C是x轴上的一个定点，其坐标为（3，0）．若M为线段AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接MB，以点M为端点作射线MN交AB于点N，使∠BMN=∠BAC．
（1）求证：△MBC∽△NMA；
（2）是否存在点M使△MBN为直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）利用两角对应相等的两三角形相似证得结论；
（2）当∠NBM=90°时和当∠EBM=90°时两种情况进行分类讨论即可得到答案．

解答：解：（1）∵A（-3，0），点C的坐标为（3，0）．
∴OA=OC
∴OB⊥AC
∴AB=BC
∴∠BAC=∠BCA
∵∠BMN=∠BAC
∴∠BMN=∠BCA
∵AMN=∠CBM=∠BCA
∴∠AMN=∠BMA
∴△MBC∽△NMA；

（2）存在．
理由：Ⅰ、当∠NBM=90°时，
∴△AOB∽△ABM，
∴

AM

AB

=

AB

AO

∵直线y=

2

3

x+b与x轴相交于点A（-3，0）．
∴b=2，OA=3
∴OB=2
∴AB=

13

∴

AM

13

=

13

3

∴AM=

13

3

∴OM=AM-OA=

4

3

∴点M的坐标为（

4

3

，0）；
Ⅱ、当∠EBM=90°时，
∵∠BMN=∠BAC．
∴∠MBN=∠ABC，
∴此时点M与点O重合，即点M的坐标为（0，0）；
综上所述：存在点M（

4

3

，0）或（0，0）使△MBN为直角三角形；

点评：本题考查了一次函数的综合知识，特别是一次函数与相似三角形的结合是一个难点，应加强训练．