Question

【题目】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．

（1）求证：四边形ODEC是矩形；

（2）当∠ADB=60°，AD=2时，求sin∠AED的值，求∠EAD的正切值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC=90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形；

（2）如图，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于F，构建直角△DEF，在该直角三角形中，∠F=90°，∠EDF=30°，易求DF的长度．所以通过解Rt△AFE来求tan∠EAD的值．

试题解析：（1）∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形ODEC是平行四边形．

又∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD，

∴∠DOC=90°．

∴四边形ODEC是矩形．

（2）如图，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．

∵AC⊥BD，∠ADB=60°，AD=2，

∴OD=，AO=OC=3．

∵四边形ODEC是矩形，

∴DE=OC=3，∠ODE=90°．

又∵∠ADO+∠ODE+∠EDF=180°，

∴∠EDF=30°．

在Rt△DEF中，∠F=90°，∠EDF=30°，

∴EF=DE=．

∴DF=．

在Rt△AFE中，∠DFE=90°，

∴tan∠EAD==．