题目内容

二次函数 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的图象的一个交点为A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C（点B在点C的左侧）．则下列结论：
（1）无论x取何值，y₂的值总是正数；（2）当x=0时，y₂-y₁=4；（3）当x≥-2时，y₁、y₂都随x的增大而增大；（4）2AB=3AC；
其中正确的是

A.
（1）（2）
B.
（2）（3）
C.
（1）（3）（4）
D.
（1）（4）

D
分析：把y₂配成顶点式，根据二次函数的最值问题对①进行判断；把A点坐标代入y₁，求出a确定y₁的关系式，然后把x=0分别代入两个函数解析式中求出对应的函数值，再计算它们的差，则可对②进行判断；根据二次函数的增减性对③进行判断；根据抛物线的对称性确定B点和C点坐标，则可计算出AB与AC，然后对④进行判断．
解答：y₂= $\text{[math]}$ （x-3）²+ $\text{[math]}$ ，则抛物线的顶点坐标为（3， $\text{[math]}$ ），而a= $\text{[math]}$ ＞0，抛物线开口向上，则函数的最小值为 $\text{[math]}$ ，所以①正确；
把A（1，3）代入 $\text{[math]}$ 得9a-3=3，解得a= $\text{[math]}$ ，则y₁= $\text{[math]}$ （x+2）²-3，当x=0，y₁=- $\text{[math]}$ ，y₂= $\text{[math]}$ ，则y₂-y₁= $\text{[math]}$ ，所以②错误；
当x≥-2时，y₁随x的增大而增大；当x≥3时，y₂随x的增大而增大，所以当x≥3时，y₁、y₂都随x的增大而增大，所以③错误；
因为y₁= $\text{[math]}$ （x+2）²-3的对称轴为直线x=-2，所以B点坐标为（-5，3）；因为y₂= $\text{[math]}$ （x-3）²+ $\text{[math]}$ 的对称轴为直线x=3，所以C点坐标为（5，3）；则AB=6，AC=4，所以2AB=3AC，所以④正确．
故选D．
点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-b2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．