Question

（2012•阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）关键是求出△ACP面积的表达式，然后利用二次函数求极值的方法，求出△ACP面积的最大值；
（3）如图（3）所示，以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求；
（4）如图（4）所示，若以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似，有两种情况，需要分类讨论，不要漏解；
（5）以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，有四种情况，分别如图（5）a、图（5）b所示，注意不要漏解．

解答：解：（1）由抛物线y=ax²+bx+2过点A（-3，0），B（1，0），则

0=9a-3b+2 0=a+b+2

解这个方程组，得a=-

2

3

，b=-

4

3

．
∴二次函数的关系解析式为y=-

2

3

x²-

4

3

x+2．

（2）设点P坐标为（m，n），则n=-

2

3

m²-

4

3

m+2．
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
PM=-

2

3

m²-

4

3

m+2，PN=-m，AO=3．
当x=0时，y=-

2

3

×0-

4

3

×0+2=2，所以OC=2
S_△PAC=S_△PAO+S_△PCO-S_△ACO
=

1

2

AO•PM+

1

2

CO•PN-

1

2

AO•CO
=

1

2

×3•（-

2

3

m²-

4

3

m+2）+

1

2

×2•（-m）-

1

2

×3×2
=-m²-3m
∵a=-1＜0
∴函数S_△PAC=-m²-3m有最大值
当m=-

b

2a

=-

3

2

时，S_△PAC有最大值．
此时n=-

2

3

m²-

4

3

m+2=-

2

3

×(-

3

2

)2-

4

3

×(-

3

2

)+2=

5

2

∴存在点P（-

3

2

，

5

2

），使△PAC的面积最大．

（3）如图（3）所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ₁Q₂、正方形BCQ₄Q₃，则点Q₁，Q₂，Q₃，Q₄为符合题意要求的点．
过Q₁点作Q₁D⊥y轴于点D，易证△Q₁CD≌△CBO，
∴Q₁D=OC=2，CD=OB=1，∴OD=OC+CD=3，∴Q₁（2，3）；
同理求得Q₂（3，1），Q₃（-1，-1），Q₄（-2，1）．
∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q₁（2，3），Q₂（3，1），Q₃（-1，-1），Q₄（-2，1）．

（4）如图（4）所示，设E（n，0），则BE=1-n，QE=-

2

3

n²-

4

3

n+2．
假设以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似，则有两种情况：
①若△AOC∽△BEQ，则有：

QE

OC

=

BE

OA

，
即

- 2 3 n2- 4 3 n+2

2

=

1-n

3

，化简得：n²+n-2=0，
解得n₁=-2，n₂=1（与B重合，舍去），∴n=-2，QE=-

2

3

n²-

4

3

n+2=2．
∴Q（-2，2）；
②若△AOC∽△BQE，则有：

QE

OA

=

BE

OC

，
即

- 2 3 n2- 4 3 n+2

3

=

1-n

2

，化简得：4n²-n-3=0，
解得n₁=-

3

4

，n₂=1（与B重合，舍去），∴n=-

3

4

，QE=-

2

3

n²-

4

3

n+2=

21

8

．
∴Q（-

3

4

，

21

8

）．
综上所述，存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．
Q点坐标为（-2，2）或（-

3

4

，

21

8

）．

（5）假设存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．
①若CM平行于x轴，如图（5）a所示，有符合要求的两个点Q₁，Q₂，此时Q₁A=Q₂A=CM．
∵CM∥x轴，∴点M、点C（0，2）关于对称轴x=-1对称，
∴M（-2，2），∴CM=2．
由Q₁A=Q₂A=CM=2，得到Q₁（-5，0），Q₂（-1，0）；
②若CM不平行于x轴，如图（5）b所示．过点M作MG⊥x轴于G，
易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即y_M=-2．
设M（x，-2），则有-

2

3

x²-

4

3

x+2=-2，解得x=-1±

7

．
又QG=3，∴x_Q=x_G+3=2±

7

，
∴Q₃（2+

7

，0），Q₄（2-

7

，0）．
综上所述，存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为：Q₁（-5，0），Q₂（-1，0），Q₃（2+

7

，0），Q₄（2-

7

，0）．
注：解答中给出（3）（4）（5）问解题过程，只是为了同学们易于理解，原题并未要求．

点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值、全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等重要知识点，难度较大，对考生能力要求较高．本题核心是存在性问题，第（3）（4）（5）问均涉及点的存在性，注意认真分析，在多种情况时需要分类讨论；另外注意求点坐标的方法，全等三角形与相似三角形在其中发挥重要作用，需要认真体会．