题目内容

19.在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.如图中的一次函数图象与x轴、y轴分别相交于点E,F,则△OEF为此函数的坐标三角形.
(1)求函数y=$\frac{3}{4}$x+6的坐标三角形的三条边长;
(2)若函数y=$\frac{3}{4}$x+b(b为常数)的坐标三角形的周长为12,求此三角形的面积.

分析 (1)根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点E、F的坐标,再利用勾股定理求出EF的长即可;
(2)根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点E、F的坐标,结合勾股定理可求出EF的长,根据函数y=$\frac{3}{4}$x+b(b为常数)的坐标三角形的周长为12,即可求出|b|的值,代入三角形的面积公式即可得出结论.

解答 解:(1)当x=0时,y=6,
∴点F的坐标为(0,6),
∴OF=6;
当y=0时,$\frac{3}{4}$x+6=0,
解得:x=-8,
∴点E的坐标为(-8,0),
∴OE=8.
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}$=10.
(2)当x=0时,y=b,
∴点F的坐标为(0,b),
∴OF=|b|;
当y=0时,$\frac{3}{4}$x+b=0,
解得:x=-$\frac{4}{3}$b,
∴点E的坐标为(-$\frac{4}{3}$b,0),
∴OE=$\frac{4}{3}$|b|.
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}$=$\frac{5}{3}$|b|.
∵函数y=$\frac{3}{4}$x+b(b为常数)的坐标三角形的周长为12,
∴|b|+$\frac{4}{3}$|b|+$\frac{5}{3}$|b|=4|b|=12,
解得:|b|=3.
∴S△OEF=$\frac{1}{2}$•OE•OF=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$|b|×|b|=$\frac{2}{3}$b2=6.

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积,根据一次函数图象上点的坐标特征找出点E、F的坐标是解题的关键.

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