Question

如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=

7

2

，且BD=5，则DE等于（　　）

• A、2

  2

• B、4

  2

• C、

  5

  3

• D、

  5

  2

Answer 1

分析：根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得△AEB∽△DEC，根据CD、AB的长，即可求出两个三角形的相似比；设BE=x，则DE=5-x，然后根据相似比表示出AE、EC的长，连接BC，首先在Rt△BEC中，根据勾股定理求得BC的表达式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，进而可求出DE的长．

解答：解法一：
∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，
∴△AEB∽△DEC；
∴

EC

BE

=

DE

AE

=

CD

AB

=

1

2

；
设BE=2x，则DE=5-2x，EC=x，AE=2（5-2x）；
连接BC，则∠ACB=90°；
Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，则BC=

3

x；
在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10-3x，BC=

3

x；
由勾股定理，得：AB²=AC²+BC²，
即：7²=（10-3x）²+（

3

x）²，
整理，得4x²-20x+17=0，解得x₁=

5

2

+

2

，x₂=

5

2

-

2

；
由于x＜

10

3

，故x=

5

2

-

2

；
则DE=5-2x=2

2

．

解法二：连接OD，OC，AD，
∵OD=CD=OC
则∠DOC=60°，∠DAC=30°
又AB=7，BD=5，
∴AD=2

6

，
在Rt△ADE中，∠DAC=30°，
所以DE=2

2

．
故选A．

点评：此题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识；本题要特别注意的是BE、DE不是相似三角形的对应边，它们的比不等于相似比，以免造成错解．