Question

如图，半圆O的直径AD=12cm，AB、BC、CD分别与半圆O切于点A、E、D．
（1）线段AB、CD与BC之间有什么关系？并说明理由；
（2）设AB=x，CD=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如果AB=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）由CB、BA和CD都是半圆O的切线，由切线长定理得：CE=CD，BE=BA，所以：AB+CD=BC；
（2）过点B作BF⊥CD于F，由BA、CD是半圆O的切线，AD是半圆O的直径，可得BA⊥AD，CD⊥AD，故BF=AD=12，DF=AB=x；在Rt△CFB中，BC²=BF²+FC²，可得出y与x之间的函数关系式；
（3）因为AB=4，代入函数关系式可得出y的值，由x、y可得出梯形和半圆的面积，由S_阴=S_梯-S_半圆可得出阴影部分的面积．

解答：解：（1）AB+CD=BC．
∵CB、BA和CD都是半圆O的切线
由切线长定理得：
CE=CD，BE=BA
∴AB+CD=BC

（2）过点B作BF⊥CD于F，如图所示：

∵BA、CD是半圆O的切线，AD是半圆O的直径，
∴BA⊥AD，CD⊥AD，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=12，DF=AB=x，
∴CF=CD-DF=y-x；
∵BC=AB+CD=x+y，
在Rt△CFB中，BF²+CF²=BC²，
∴12²+（y-x）²=（y+x）²，
∴y与x之间的函数关系式为：
y=

36

x

(x＞0)．

（3）当AB=4时，即x=4，则y=

36

x

=

36

4

=9，
∴CD=9cm，
∵S半圆=

1

2

π×OA2=

1

2

π×62=18πcm²，S梯形ABCD=

1

2

(AB+CD)×AD=

1

2

(4+9)•12=78cm²；
∴S_阴=S_梯-S_半圆=（78-18π）cm²．

点评：本题考查了切线的性质，梯形的面积，勾股定理的应用．