题目内容
（2013•成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-
x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究
是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
| 1 |
| 2 |
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究
| PQ |
| NP+BQ |
分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础．
若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2
．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x-5）与抛物线的交点，即为所求之M点；
②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为
．此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（y=x-3）与抛物线的交点，即为所求之M点．
ii）由（i）可知，PQ=2
为定值，因此当NP+BQ取最小值时，
有最大值．
如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．
（2）i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础．
若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2
| 2 |
②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为
| 2 |
ii）由（i）可知，PQ=2
| 2 |
| PQ |
| NP+BQ |
如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．
解答：解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3）
∴点B的坐标为（4，-1）．
∵抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，
∴
，解得：b=2，c=-1，
∴抛物线的函数表达式为：y=-
x2+2x-1．
（2）i）∵A（0，-1），C（4，3），
∴直线AC的解析式为：y=x-1．
设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m-1），
则平移后抛物线的函数表达式为：y=-
（x-m）2+m-1．
解方程组：
，
解得
，
∴P（m，m-1），Q（m-2，m-3）．
过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则
PE=m-（m-2）=2，QE=（m-1）-（m-3）=2．
∴PQ=2
=AP0．
若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2
（即为PQ的长）．
由A（0，-1），B（4，-1），P0（2，1）可知，
△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=2
．
如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=-
x2+2x-1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，
∵B（4，-1），∴-1=4+b1，解得b1=-5，
∴直线l1的解析式为：y=x-5．
解方程组
，得：
，
∴M1（4，-1），M2（-2，-7）．
②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为
．
如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，-1）．
由A（0，-1），F（2，-1），P0（2，1）可知：
△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为
．
过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=-
x2+2x-1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，
∵F（2，-1），∴-1=2+b2，解得b2=-3，
∴直线l2的解析式为：y=x-3．
解方程组
，得：
，
∴M3（1+
，-2+
），M4（1-
，-2-
）．
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1（4，-1），M2（-2，-7），M3（1+
，-2+
），M4（1-
，-2-
）．
ii）
存在最大值．理由如下：
由i）知PQ=2
为定值，则当NP+BQ取最小值时，
有最大值．
如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=
=2
．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2
．
∴
的最大值为
=
．
∴点B的坐标为（4，-1）．
∵抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，
∴
|
∴抛物线的函数表达式为：y=-
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（2）i）∵A（0，-1），C（4，3），
∴直线AC的解析式为：y=x-1．
设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m-1），
则平移后抛物线的函数表达式为：y=-
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解方程组：
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解得
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∴P（m，m-1），Q（m-2，m-3）．
过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则
PE=m-（m-2）=2，QE=（m-1）-（m-3）=2．
∴PQ=2
| 2 |
若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2
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由A（0，-1），B（4，-1），P0（2，1）可知，
△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=2
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如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=-
| 1 |
| 2 |
∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，
∵B（4，-1），∴-1=4+b1，解得b1=-5，
∴直线l1的解析式为：y=x-5．
解方程组
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|
∴M1（4，-1），M2（-2，-7）．
②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为
| 2 |
如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，-1）．
由A（0，-1），F（2，-1），P0（2，1）可知：
△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为
| 2 |
过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=-
| 1 |
| 2 |
∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，
∵F（2，-1），∴-1=2+b2，解得b2=-3，
∴直线l2的解析式为：y=x-3．
解方程组
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∴M3（1+
| 5 |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1（4，-1），M2（-2，-7），M3（1+
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| 5 |
| 5 |
| 5 |
ii）
| PQ |
| NP+BQ |
由i）知PQ=2
| 2 |
| PQ |
| NP+BQ |
如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=
| 22+42 |
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∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2
| 5 |
∴
| PQ |
| NP+BQ |
2
| ||
2
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| ||
| 5 |
点评：本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称-最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．
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