题目内容
(2013•成都)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k为常数)与抛物线y=
x
2-2交于A,B两点,且A点在y轴左侧,P点的坐标为(0,-4),连接PA,PB.有以下说法:
①PO
2=PA•PB;
②当k>0时,(PA+AO)(PB-BO)的值随k的增大而增大;
③当k=
-时,BP
2=BO•BA;
④△PAB面积的最小值为
4.
其中正确的是
③④
③④
.(写出所有正确说法的序号)
分析:首先得到两个基本结论:
(I)设A(m,km),B(n,kn),联立两个解析式,由根与系数关系得到:m+n=3k,mn=-6;
(II)直线PA、PB关于y轴对称.
利用以上结论,解决本题:
(1)说法①错误.如答图1,设点A关于y轴的对称点为A′,若结论①成立,则可以证明△POA′∽△PBO,得到∠AOP=∠PBO.而∠AOP是△PBO的外角,∠AOP>∠PBO,由此产生矛盾,故说法①错误;
(2)说法②错误.如答图2,可求得(PA+AO)(PB-BO)=16为定值,故错误;
(3)说法③正确.联立方程组,求得点A、B坐标,进而求得BP、BO、BA,验证等式BP
2=BO•BA成立,故正确;
(4)说法④正确.由根与系数关系得到:S
△PAB=2
,当k=0时,取得最小值为
4,故正确.
解答:解:设A(m,km),B(n,kn),其中m<0,n>0.
联立y=
x
2-2与y=kx得:
x
2-2=kx,即x
2-3kx-6=0,
∴m+n=3k,mn=-6.
设直线PA的解析式为y=ax+b,将P(0,-4),A(m,km)代入得:
,解得a=
,b=-4,
∴y=(
)x-4.
令y=0,得x=
,
∴直线PA与x轴的交点坐标为(
,0).
同理可得,直线PB的解析式为y=(
)x-4,直线PB与x轴交点坐标为(
,0).
∵
+
=
=
8k×(-6)+16×3k |
(km+4)(kn+4) |
=0,
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称,即直线PA、PB关于y轴对称.
(1)说法①错误.理由如下:
如答图1所示,∵PA、PB关于y轴对称,
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上.
连接OA′,则OA=OA′,∠POA=∠POA′.

假设结论:PO
2=PA•PB成立,即PO
2=PA′•PB,
∴
=,
又∵∠BPO=∠BPO,
∴△POA′∽△PBO,
∴∠POA′=∠PBO,
∴∠AOP=∠PBO.
而∠AOP是△PBO的外角,
∴∠AOP>∠PBO,矛盾,
∴说法①错误.
(2)说法②错误.理由如下:
易知:
=-
,
∴OB=-
OA.
由对称可知,PO为△APB的角平分线,
∴
=,
∴PB=-
PA.
∴(PA+AO)(PB-BO)=(PA+AO)[-
PA-(-
OA)]=-
(PA+AO)(PA-OA)=-
(PA
2-AO
2).
如答图2所示,过点A作AD⊥y轴于点D,则OD=-km,PD=4+km.

∴PA
2-AO
2=(PD
2+AD
2)-(OD
2+AD
2)=PD
2-OD
2=(4+km)
2-(-km)
2=8km+16,
∵m+n=3k,∴k=
(m+n),
∴PA
2-AO
2=8•
(m+n)•m+16=
m
2+
mn+16=
m
2+
×(-6)+16=
m
2.
∴(PA+AO)(PB-BO)=-
(PA
2-AO
2)=-
•
m
2=-
mn=-
×(-6)=16.
即:(PA+AO)(PB-BO)为定值,所以说法②错误.
(3)说法③正确.理由如下:
当k=
-时,联立方程组:
,得A(
-2,2),B(
,-1),
∴BP
2=12,BO•BA=2×6=12,
∴BP
2=BO•BA,故说法③正确.
(4)说法④正确.理由如下:
S
△PAB=S
△PAO+S
△PBO=
OP•(-m)+
OP•n=
OP•(n-m)=2(n-m)=2
=2
,
∴当k=0时,△PAB面积有最小值,最小值为
2=
4.
故说法④正确.
综上所述,正确的说法是:③④.
故答案为:③④.
点评:本题是代数几何综合题,难度很大.解答中首先得到两个基本结论,其中PA、PB的对称性是判定说法①的基本依据,根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据.正确解决本题的关键是打好数学基础,将平时所学知识融会贯通、灵活运用.
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