Question

已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以O为圆心、OC为半径的圆与AB相切于点D，交AC于点E．
（1）求证：DE∥OB；
（2）若⊙O的半径为2，BC=4，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）根据AB与⊙O相切，BC是⊙O的切线，结合等腰三角形的性质判断出BO⊥CD，根据直径所对的圆周角是90°，判断出ED⊥CD，得出DE∥OB；
（2）因为DE∥OB，根据平行线分线段成比例定理，确定AD和AE的关系，再根据切割线定理，可求出AD的长．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，CO是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线，
又∵AB与⊙O相切，
∴OC=OD，且BO为∠CBA的角平分线，
∴BO⊥CD，（3分）
又∵CE是⊙O的直径，且C是⊙O上一点，
∴DE⊥CD，
∴DE∥OB；（5分）

（2）解：∵DE∥OB，
∴

AD

DB

=

AE

EO

，
又BD=BC=4，OE=2，
∴

AD

4

=

AE

2

，即AD=2AE，（7分）
又AD、AC分别是⊙O的切线和割线，
∴AD²=AE•AC，即AD²=AE•（AE+4），（9分）
∴AD²=

AD

2

•（

AD

2

+4），可得AD=

8

3

．

点评：此题是一道基础性题目，考查了和圆相关的等腰三角形的性质、切线长定理以及平行线分线段成比例定理，仔细分析，建立起它们之间的关系即可解答．