题目内容

【题目】如图1,已知长方形ABCD,AB=CD=4,BC=AD=6,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,E为CD边的中点,P为长方形ABCD边上的动点,动点P从A出发,沿着A→B→C→E运动到E点停止,设点P经过的路程为x,△APE的面积为y.

(1)求当x=5时,对应y的值;

(2)如图2、3、4,求出当点P分别在边AB、BC和CE上时,y与x之间的关系式;

(3)如备用图,当P在线段BC上运动时,是否存在点P使得△APE的周长最小,若存在,求出此时∠PAD的度数,若不存在,请说明理由.

【答案】(1)x=5时,y=11;

(2)当点P在AB边上时,y=3x;当点P在BC边上时, ;当点P在线段CE上时,

(3)存在,此时∠PAD=45°.

【解析】试题分析:1)利用三角形面积求法SAP′E=S梯形ABCE-SABP′-SP′CE,分别得出答案;

2)利用当0≤x≤4时,当4<x≤10时,当10<x≤12时,分别得出yx的函数关系式即可;(3)利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置,进而利用相似三角形的性质求出答案.

试题解析: (1)如图1

∵长方形ABCD中,BC=AD=6

∴当x=2,AP=2,y=SAPE=×2×6=6

∵长方形ABCDAB=CD=4BC=AD=6

∴当x=5,BP=1

y=SAP′E=S梯形ABCESABP′SP′CE

= (AB+EC)×BC×AB×BPPC×EC= (4+2)×6×1×4×5×2=11.

(2)0x4,y=x×6=3x

4<x10时,PBC上,

y=S梯形ABCESABP′SP′CE=18×4×(x4) (10x)×2=16x

10<x≤12时,PEC上,

y=×6×(12x)=363x.

综上所述:y=.

3)存在.如图,

作点E关于BC所在直线的对称点E′,连接AE′ BC于点P,此时APE的周长最小,于是DE′=6=AD,又因为∠D=90°,所以=45°

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