Question

已知：ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD, A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．

⑴求证：四边形ABCD是矩形；
⑵在四边形ABCD中，求的值．

Answer 1

（1）证明：连结OE

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=OB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=BE，
∴EO⊥BD
∴∠DOE= 90°
即∠DAE= 90°
又四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形
（2）解：∵四边形DEBF是菱形
∴∠FDB=∠EDB
又由题意知∠EDB=∠EDA
由（1）知四边形ABCD是矩形
∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°
则∠ADB= 60°
∴在Rt△ADB中，有AD∶AB=1∶
即

（1）根据矩形的判定定理，先证DE=BE，再证∠DOE=90°，则可证．
（2）根据已知条件和（1）的结论，先求得AD：AB，即可得到的值．