题目内容
(本小题满分10分)已知关于
x的方程
mx2-(3
m-1)
x+2
m-2=0
(1)求证:无论
m取任何实数时,方程恒有实数根.
(2)若关于
x的二次函数y=
mx2-(3
m-1)
x+2
m-2的图象与
x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式.
(3)在直角坐标系
xoy中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题:当直线
y=
x+
b与(2)中的函数图象只有两个交点时,求
b的取值范围.
(1)略
(2)
y1=
x(
x-2)或
y2=

(
x-2)(
x-4)
(3)当
b<-或
b>-或
b=-2时,直线
y=
x+
b与(2)中的图象只有两个交点解析:
解:(1)分两种情况讨论:
①当
m=0 时,方程为
x-2=0,∴
x="2" 方程有实数根
②当
m≠0时,则一元二次方程的根的判别式
△=[-(3
m-1)]
2-4
m(2
m-2)=
m2+2
m+1=(
m+1)
2≥0
不论
m为何实数,△≥0成立,∴方程恒有实数根
综合①②,可知
m取任何实数,方程
mx2-(3
m-1)
x+2
m-2=0恒有实数根.
(2)设
x1,
x2为抛物线y=
mx2-(3
m-1)
x+2
m-2与
x轴交点的横坐标.
则有
x1+
x2=

,
x1·
x2=

由|
x1-
x2|=

=

=

=

,
由|
x1-
x2|=2得

=2,∴

=2或

=-2
∴
m=1或
m=

∴所求抛物线的解析式为:
y1=
x2-2
x或
y2=
x2+2
x-
即
y1=
x(
x-2)或
y2=

(
x-2)(
x-4)其图象如图所示.

(3)在(2)的条件下,直线
y=
x+
b与抛物线
y1,
y2组成的图象只有两个交点,结合图象,求
b的取值范围.

,当
y1=
y时,得
x2-3
x-
b=0,△=9+4
b=0,解得
b=-;
同理

,可得△=9-4(8+3
b)=0,得
b=-.
观察函数图象可知当
b<-或
b>-时,直线
y=
x+
b与(2)中的图象只有两个交点.
由


当
y1=
y2时,有
x=2或
x=1
当
x=1时,
y=-1
所以过两抛物线交点(1,-1),(2,0)的直线
y=
x-2,
综上:当
b<-或
b>-或
b=-2时,直线
y=
x+
b与(2)中的图象只有两个交点.
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