题目内容
【题目】如图,△ABC是等边三角形,D为BC边上一个动点(D与B、C均不重合),AD=AE,∠DAE=60°,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)求证:CE平分∠ACF;
(3)若AB=2,当四边形ADCE的周长取最小值时,求BD的长.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)1.
【解析】
(1)由于AB=AC,AD=AE,所以只需证∠BAD=∠CAE即可得结论;
(2)证明∠ACE和∠ECF都等于60°即可;
(3)将四边形ADCE的周长用AD表示,AD最小时就是四边形ADCE的周长最小,根据垂线段最短原理,当AD⊥BC时,AD最小,此时BD就是BC的一半.
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵∠DAE=60°,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
即∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE.
(2)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠BCA=60°,
∵△ABD≌△ACE,
∴∠ACE=∠B=60°,
∵△ABD≌△ACE,
∴∠ACE=∠B=60°,
∴∠ECF=180﹣∠ACE﹣∠BCA=60°,
∴∠ACE=∠ECF,
∴CE平分∠ACF.
(3)解:∵△ABD≌△ACE,
∴CE=BD,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=2,
∴四边形ADCE的周长=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+2AD,
根据垂线段最短,当AD⊥BC时,AD值最小,四边形ADCE的周长取最小值,
∵AB=AC,
∴BD=BC=.
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