Question

（1997•北京）已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于

1

2

．设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：画出图形，先求出矩形的较长的边与较短的边的范围，然后分①AE与较短的边的夹角的正切值等于

1

2

时，设BE=m，表示出AB，再根据矩形的周长列式表示出m，然后根据梯形的面积公式列式整理即可得解，再根据BE与BC的长度范围求出x的取值范围；②AE与较长的边的夹角的正切值等于

1

2

时，设AB=CD=n，表示出BE，然后根据矩形的周长表示出m，再根据矩形的面积公式列式整理即可得解，再根据BE、BC的长度范围求出x的取值范围．

解答：解：∵矩形ABCD的长大于宽的2倍，矩形的周长为12，
∴AD＞4，AB＜2，
根据题意，可分为以下两种情况：
第一种情况，如图1，
当tan∠BAE=

1

2

时，设CE=x，BE=m，
则AB=DC=2m，AD=m+x，
∵AB+AD=6，
∴2（2m+m+x）=12，
m=

6-x

3

，
S_梯形AECD=

1

2

（AD+EC）•DC，
=

1

2

[（m+x）+x]•2m，
=m（m+2x），
=

6-x

3

•

6+5x

3

，
=-

5

9

x²+

8

3

x+4，

6-x

3

＞0，

6-x

3

+x＞4，
∴x＜6，x＞3，
∴x的取值范围是3＜x＜6；

第二种情况，如图2，
tan∠AEB=

1

2

时，
设CE=x，AB=CD=n，
则BE=2n，AD=2n+x，
∵矩形的周长为12，
∴AB+AD=6，
∴2（n+2n+x）=12，n=

6-x

3

，
S_梯形AECD=

1

2

（AD+EC）•DC，
=

1

2

[（2n+x）+x]•n，
=n（n+x），
=

6-x

3

•

6+2x

3

，
=-

2

9

x²+

2

3

x+4，
∵

6-x

3

＞0，2×

6-x

3

+x＞4，
∴x＜6，x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜6．

点评：本题考查了矩形的性质，解直角三角形，梯形的面积公式，难点在于要分情况讨论．