Question

（1997•北京）已知：关于x的方程x²-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且反比例函数y=

1+2k

x

的图象的两个分支在各自的象限内y随x的增大而减小．求满足上述条件的k的整数值．

Answer 1

分析：先根据根的判别式得到△=（-3）²-4（2k-1）≥0，解得k≤

13

8

；再根据根与系数的关系得x₁+x₂=3，x₁•x₂=2k-1，由x₁²+x₂²≥x₁x₂得到9-3（2k-1）≥0，解得k≤2，
然后利用反比例函数的性质得到1+2k＞0，即k＞-

1

2

，则k的取值范围为-

1

2

＜k≤

13

8

，再找出此范围内的整数即可．

解答：解：∵关于x的方程x²-3x+2k-1=0有两个实数根，
∴△=（-3）²-4（2k-1）≥0，解得k≤

13

8

，
设方程x²-3x+2k-1=0的两个根为x₁、x₂，则x₁+x₂=3，x₁•x₂=2k-1，
∵x₁²+x₂²≥x₁x₂，即（x₁+x₂）²-3x₁x₂≥0，
∴9-3（2k-1）≥0，解得k≤2，
∴k≤

13

8

，
∵反比例函数y=

1+2k

x

的图象的两个分支在各自的象限内y随x的增大而减小，
∴1+2k＞0，即k＞-

1

2

，
∴k的取值范围为-

1

2

＜k≤

13

8

，
∴k的整数值为0、1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判别式以及反比例函数的性质．