题目内容
探索一个问题:“任意给定一个矩形A,是否存在另一个矩形B,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?”
(1)完成下列空格:
当已知矩形A的边长分别为6和1时,小明是这样研究的:设所求矩形的一边是x,则另一边为(
-x),由题意得方程:x(
-x)=3,化简得:2x2-7x+6=0
∵b2-4ac=49-48>0,∴x1=______,x2=______.
∴满足要求的矩形B存在.
小红的做法是:设所求矩形的两边分别是x和y,由题意得方程组:
消去y化简后也得到:2x2-7x+6=0,(以下同小明的做法)
(2)如果已知矩形A的边长分别为2和1,请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B.
(3)在小红的做法中,我们可以把方程组整理为:
,此时两个方程都可以看成是函数解析式,从而我们可以利用函数图象解决一些问题.如图,在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象,其中x和y分别表示矩形B的两边长,请你结合刚才的研究,回答下列问题:(完成下列空格)
①这个图象所研究的矩形A的面积为______;周长为______.
②满足条件的矩形B的两边长为______和______.
解:(1)x1=2,
,…
(2)设所求矩形的一边是x,则另一边为(
-x),
由题意得方程:x(
-x)=1,
化简得:2x2-3x+2=0
∵b2-4ac=9-16<0,
∴原方程无解.
∴满足要求的矩形B不存在.…
(3)(每空1分)
①由图可知,一次函数解析式为y=-x+4.5,
反比例函数解析式为y=
,
组成方程组得:
,
整理得出:x2-4.5x+4=0,
∴x1+x2=4.5,x1x2=4,
∵矩形B的两边长和为4.5,周长为9,面积为4,
∴这个图象所研究的矩形A的面积为8;周长为18,
故答案为:8,9;
②由题意得出:
,
解得:
,
,
则满足条件的矩形B的两边长为
和
….
故答案为:
,
.
分析:(1)用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可;
(2)设所求矩形的两边分别是x和y,由题意得方程组,消去y化简再根据方程的判别式解答即可;
(3)①由图可知,一次函数解析式为y=-x+4.5,反比例函数解析式为y=
,组成方程组,消去y求出方程的根,再根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=4.5,x1x2=4,即可.
②利用解二元二次方程,可求出满足条件的矩形B的两边长.
点评:此题主要考查了根与系数的关系以及二元二次方程解法、利用函数图象得函数解析式等知识,根据图象得出函数解析式是解题关键.
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/92492.png)
(2)设所求矩形的一边是x,则另一边为(
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png)
由题意得方程:x(
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png)
化简得:2x2-3x+2=0
∵b2-4ac=9-16<0,
∴原方程无解.
∴满足要求的矩形B不存在.…
(3)(每空1分)
①由图可知,一次函数解析式为y=-x+4.5,
反比例函数解析式为y=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/2698.png)
组成方程组得:
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/287636.png)
整理得出:x2-4.5x+4=0,
∴x1+x2=4.5,x1x2=4,
∵矩形B的两边长和为4.5,周长为9,面积为4,
∴这个图象所研究的矩形A的面积为8;周长为18,
故答案为:8,9;
②由题意得出:
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/287637.png)
解得:
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/287638.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/287639.png)
则满足条件的矩形B的两边长为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/188143.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/188142.png)
故答案为:
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/188143.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/188142.png)
分析:(1)用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可;
(2)设所求矩形的两边分别是x和y,由题意得方程组,消去y化简再根据方程的判别式解答即可;
(3)①由图可知,一次函数解析式为y=-x+4.5,反比例函数解析式为y=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/2698.png)
②利用解二元二次方程,可求出满足条件的矩形B的两边长.
点评:此题主要考查了根与系数的关系以及二元二次方程解法、利用函数图象得函数解析式等知识,根据图象得出函数解析式是解题关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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