题目内容

探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： $数学公式$ ，消去y化简得：2x²-7x+6=0，
∵△=49-48＞0，∴x₁=，x₂=．∴满足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
（4）如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形A的两边长为和；
②满足条件的矩形B的两边长为和．

解：（1）解此方程得．x₁=2和x₂= $\text{[math]}$ ；

（2）设所求矩形的两边分别是x和y，
由题意得方程组 $\text{[math]}$ ，
消去y化简得：2x²-3x+2=0，
∵△=9-16＜0，
∴不存在矩形B．

（3）满足（m+n）²-8mn≥0时，矩形B存在．
由题意得方程组 $\text{[math]}$ ，
消去y化简得：2x²-（m+n）x+mn=0，
∴△=（m+n）²-8mn≥0．

（4）①1和8．
由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5，
反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ，
组成方程组得到 $\text{[math]}$ ，
整理得x²-4.5x+4=0，
∴x₁+x₂=4.5，
x₁x₂=4，
于是 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
② $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
由题意知 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可；
（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简再根据方程的判别式解答即可；
（3）同（2）；
（4）由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5，反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ，组成方程组，消去y求出方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出m，n的值即可．同理可求出满足条件的矩形B的两边长．
点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系及根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根；
（4）若一元二次方程有实数根，则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ．

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由题意得方程组：

，消去y化简得：2x²-7x+6=0，
∵△=49-48＞0，∴x₁=

．∴满足要求的矩形B存在．
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；
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当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的一边是x，则另一边为（

-x），由题意得方程：x（

-x）=3，化简得：2x²-7x+6=0
∵b²-4ac=49-48＞0，∴x₁=

．
∴满足要求的矩形B存在．
小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：

消去y化简后也得到：2x²-7x+6=0，（以下同小明的做法）
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）在小红的做法中，我们可以把方程组整理为：

，此时两个方程都可以看成是函数解析式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格）
①这个图象所研究的矩形A的面积为

．
②满足条件的矩形B的两边长为

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∵b²-4ac=49-48＞0，∴x₁=，x₂=．
∴满足要求的矩形B存在．
小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组： $数学公式$ 消去y化简后也得到：2x²-7x+6=0，（以下同小明的做法）
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①这个图象所研究的矩形A的面积为；周长为．
②满足条件的矩形B的两边长为和．

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当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的一边是x，则另一边为（

-x），由题意得方程：x（

-x）=3，化简得：2x²-7x+6=0
∵b²-4ac=49-48＞0，∴x₁=______，x₂=______．
∴满足要求的矩形B存在．
小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：

消去y化简后也得到：2x²-7x+6=0，（以下同小明的做法）
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
（3）在小红的做法中，我们可以把方程组整理为：

，此时两个方程都可以看成是函数解析式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格）
①这个图象所研究的矩形A的面积为______；周长为______．
②满足条件的矩形B的两边长为______