Question

【题目】如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．

求证：（1）EC＝BF；

（2）EC⊥BF；

（3）连接AM，求证：AM平分∠EMF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°，从而得证．

（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP=AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；

证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE＝∠CAF＝90°，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，

即∠EAC＝∠BAF，

在△ABF和△AEC中，

∵ ，

∴△ABF≌△AEC（SAS），

∴EC＝BF；

（2）根据（1），△ABF≌△AEC，

∴∠AEC＝∠ABF，

∵AE⊥AB，

∴∠BAE＝90°，

∴∠AEC+∠ADE＝90°，

∵∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），

∴∠ABF+∠BDM＝90°，

在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，

所以EC⊥BF．

（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：

∵△EAC≌△BAF，

∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．

∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，

∴AM平分∠EMF．