Question

（1996•山东）如图，在△ABC中，BC=6，AC=4

2

，∠C=45°，在BC边上有一动点P，过P作PD∥AB，与AC相交于点D，连接AP，设BP=x，△APD的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
（2）是否存在这样的P点，使得△APD的面积等于△ABP面积的

2

3

？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设△ABP，△APD，△CDP的面积分别记为S₁，S₂，S₃，由已知条件可求出△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，找到h和x的数量关系，则即可求出用x的代数式分别表示S₁，S₂，S₃进而表示出△APD的面积y；
（2）存在，有（1）可知AE=4，进而求出S△ABP=

1

2

BP•AN=

x

2

•4=2x，当使得△APD的面积等于△ABP面积的

2

3

时，则-

1

3

x2+2x=

2

3

•2x，再解一元二次方程即可求出BP的长．

解答：解：（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，
由Rt△AEC中，AC=4

2

，得到此三角形为等腰直角三角形，
∴sin45°=

AE

AC

，即AE=ACsin45°=4

2

×

2

2

=4，
∴△ABC中BC边上的高为4，
设△CDP中PC边上的高为h，
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴

h

4

=

6-x

6

，
∴h=

2

3

（6-x）
这样S₁=2x，S₃=

1

2

（6-x）•

2

3

6-x）=

1

3

（6-x）²，
S₂=12-2x-

1

3

（6-x）²，
即y=-

1

3

x2+2x，
∵P点只能在线段BC上移动，且不能与B、C两点重合
∴函数自变量的取值范围是0＜x＜6；

（2）由（1）可知AE=4，
∴S△ABP=

1

2

BP•AE=

x

2

•4=2x，
若S△APD=

2

3

S△ABP则-

1

3

x2+2x=

2

3

•2x
即x²-2x=0解得x₁=2，x₂=0（舍去）
∵0＜2＜6，
∴在BC边上存在一点P（BP=2），使△APD的面积等于△ABP的面积的

2

3

．

点评：本题考查了二次函数和一元二次方程的关系以及三角形的面积，难度不大，属于中档题目．