Question

如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G．
（1）试说明：△ABC≌△ADE．
（2）如果线段FD是线段FG和FB的比例中项，那么BC平分∠ABD吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）由∠BAD=∠CAE，易得∠BAC=∠DAE，又由在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，利用SAS即可证得：△ABC≌△ADE．
（2）由线段FD是线段FG和FB的比例中项，易证得△FDG∽△FBD，即可得∠FDG=∠FBD，又由△ABC≌△ADE，可得∠ABC=∠ADE，则可证得BC平分∠ABD．

解答：（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，

AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE

，
∴△ABC≌△ADE（SAS）；

（2）BC平分∠ABD．
理由：∵线段FD是线段FG和FB的比例中项，
∴FG：FD=FD：FB，
∵∠DFG是公共角，
∴△FDG∽△FBD，
∴∠FDG=∠FBD，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ABC=∠ADE，
∴∠ABC=∠FBD，
即BC平分∠ABD．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．