题目内容
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．
分析：（1）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（2）股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．
（2）股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．
解答：解：（1）∵
（9-1）=4，
（9+1）=5；
（25-1）=12，
（25+1）=13；
∴7，24，25的股的算式为
（49-1）=
（72-1）
弦的算式为
（49+1）=
（72+1）；（4分）
（2）当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，
（n2-1），
（n2+1）．（7分）
例如关系式①：弦-股=1；关系式②：勾2+股2=弦2（9分）
证明关系式①：弦-股=
（n2+1）-
（n2-1）=
[（n2+1）-（n2-1）]=1
或证明关系式②：勾2+股2=n2+[
（n2-1）]2=
n4+
n2+
=
（n2+1）2=弦2∴猜想得证；（12分）
（3）例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为：(
)2-1，(
)2+1．（14分）
另加分问题，
例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股．
即上一组为：n，
（n2-1），
（n2+1）（n为奇数且n≥3），
分别记为：A1、B1、C1，
下一组为：n+2，
[（n+2）2-1]，
[（n+2）2+1]（n为奇数且n≥3），
分别记为：A2、B2、C2，
则：A1+B1+A2=n+
（n2-1）+（n+2）=
（n2+4n+3）=
[（n+2）2-1]=B2．
或B1+C2=B2+C1（证略）等等．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴7，24，25的股的算式为
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
弦的算式为
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
例如关系式①：弦-股=1；关系式②：勾2+股2=弦2（9分）
证明关系式①：弦-股=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
或证明关系式②：勾2+股2=n2+[
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（3）例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为：(
| m |
| 2 |
| m |
| 2 |
另加分问题，
例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股．
即上一组为：n，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
分别记为：A1、B1、C1，
下一组为：n+2，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
分别记为：A2、B2、C2，
则：A1+B1+A2=n+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
或B1+C2=B2+C1（证略）等等．
点评：注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式．
练习册系列答案
相关题目
（9-1），弦5=
（9-1）、
（9+1）与
（25-1）、
（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
（9-1）、
（9+1）与
（25-1）、
（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；