Question

据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾=3时，股4=（9-1），弦5=（9+1）；
当勾=5时，股12=（25-1），弦13=（25+1）；
------
请你根据小明发现的规律用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦______，并猜想他们之间的相等关系（写二种）并对其中一种猜想加以证明；
（2）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示他们的股和弦．

Answer 1

解：（1）∵（9-1）=4，（9+1）=5； （25-1）=12，（25+1）=13；
∴7，24，25的股的算式为 （49-1）=（7²-1）
弦的算式为 （49+1）=（7²+1）；
当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，（n²-1），（n²+1）．
例如关系式①：弦-股=1；关系式②：勾²+股²=弦²，
证明关系式①：弦-股=（n²+1）-（n²-1）=[（n²+1）-（n²-1）]=1
或证明关系式②：勾²+股²=n²+[（n²-1）]²=n⁴+n²+=（n²+1）²=弦²∴猜想得证；

（2）例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为：，．
另加分问题，
例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股．
即上一组为：n，（n²-1），-（n²+1）（n为奇数且n≥3），
分别记为：A₁、B₁、C₁，
下一组为：n+2，[（n+2）²-1]，[（n+2）²+1]（n为奇数且n≥3），
分别记为：A₂、B₂、C₂，
则：A₁+B₁+A₂=n+（n²-1）+（n+2）=（n²+4n+3）=[（n+2）²-1]=B₂．
或B₁+C₂=B₂+C₁（证略）等等．
分析：（1）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（2）股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．
点评：本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．