Question

如图（1），∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB=4，以点O为圆心，

1

2

BO长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由；
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点（如图（2）），MN=2

2

，求

MN

的长．

Answer 1

分析：（1）要求当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切，就要先利用切线的性质画出图形，从图中可以看出旋转的度数就是∠A′BC的度数．然后利用图形来计算．从图中可看出，OG=OB的一半，所以角PBG=30°，所以当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°或120°时与⊙O相切；
（2）由勾股定理边的关系可知弧所对的圆心角是一个直角，然后利用弧长公式计算

解答：解：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°或120°时与⊙O相切（1分）
理由：当BA绕点B按顺时针方向旋转60°到BA′的位置，则∠A′BO=30°
过O作OG⊥BA′垂足为G
∴OG=

1

2

OB=2（3分）
∴BA′是⊙O的切线（4分）
同理，当BA绕点B按顺时针方向旋转120度到BA″的位置时
BA″也是⊙O的切线．（6分）
∵OG=

1

2

OB
∴∠A′BO=30°
∴BA绕点B按顺时针方向旋转了60°
同理可知，当BA绕点B按顺时针方向旋转到BA″的位置时，BA与⊙O相切，BA绕点B按顺时针方向旋转了120°；

（2）∵MN=2

2

，OM=ON=2
∴MN²=OM²+ON²（7分）
∴∠MON=90°（8分）
∴

MN

的长为l=

90π×2

180

=π．

点评：本题综合考查了切线的判定和弧长公式的综合运用．