题目内容

【题目】如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.

(1)求证:ACD=B;

(2)如图2,BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;

①求tanCFE的值;

②若AC=3,BC=4,求CE的长.

【答案】(1)详见解析;(2).

【解析】

试题分析:(1)连接OC,根据切线的性质、直径所对的圆周角是直角及等角的余角相等即可证明结论.

(2)CEF=ECD+CDE,CFE=B+FDB,CDE=FDB,ECD=B,即可得CEF=CF,再由ECF=90°,可得CEF=CFE=45°,即可得结论.

由勾股定理可求得AB=5,根据已知易证DCA∽△DBC,得,设DC=3k,DB=4k,由CD2=DADB,得9k2=(4k5)4k,由此求出DC,DB,再由DCE∽△DBF,得,设EC=CF=x,列出方程即可解决问题.

试题解析:(1)证明:如图1中,连接OC.

OA=OC,

∴∠1=2,

CD是O切线,

OCCD,

∴∠DCO=90°

∴∠3+2=90°

AB是直径,

∴∠1+B=90°

∴∠3=B.

(2)解:①∵∠CEF=ECD+CDE,CFE=B+FDB,

∵∠CDE=FDB,ECD=B,

∴∠CEF=CFE,∵∠ECF=90°

∴∠CEF=CFE=45°

tanCFE=tan45°=1.

在RTABC中,AC=3,BC=4,

由勾股定理得AB=5,

∵∠CDA=BDC,DCA=B,

∴△DCA∽△DBC,

,设DC=3k,DB=4k,

CD2=DADB,

9k2=(4k5)4k,

k=

CD=,DB=

∵∠CDE=BDF,DCE=B,

∴△DCE∽△DBF,

,设EC=CF=x,

x=

CE=

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