Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m=0
（1）若有一个根是1，求m；
（2）若x₁、x₂是该一元二次方程的两个根，已知m≤-

1

2

且y=x₁+x₂-

x1•x2+ 1 4

求y的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m=0有一个根是1，把根1代入即可求m．
（2）根据根与系数的关系求出y用m表示的表达式，然后再求y的取值范围．

解答：解：（1）由一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m=0有一个根是1，把根1代入得：
1-（2m+1）+m²+m=0，
解得：m=0或m=1；

（2）∵x₁、x₂是该一元二次方程的两个根，
∴x₁+x₂=2m+1，x₁x₂=m²+m，△=1＞0恒成立，
y=x₁+x₂-

x1•x2+ 1 4

=2m+1-

(m+ 1 2 )2

，
∵m≤-

1

2

，
∴y=2m+1-

(m+ 1 2 )2

=2m+1+m+

1

2

，
=3m+

3

2

≤-

3

2

+

3

2

=0．
故y的取值范围为：y≤0．

点评：本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是熟记x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．