Question

【题目】如图，在中，平分．

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），作的垂真平分线，与相交于点，与相交于点；

（2）在（1）条件下，连接，，和有何数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠BAC+∠BGC=180°，理由见解析

【解析】

（1）作线段BC的垂直平分线即可；
（2）在AB上截取AD=AC，连接DG．首先证明△DAG≌△CAG（SAS），推出∠ABG+∠ACG=180°，利用四边形内角和定理即可解决问题．

（1）线段BC的中垂线EG如图所示；

（2）结论：∠BAC+∠BGC=180°．
理由：在AB上截取AD=AC，连接DG．
∵AM平分∠BAC，
∴∠DAG=∠CAG，
在△DAG和△CAG中
∵

∴△DAG≌△CAG（SAS），
∴∠ADG=∠ACG，DG=CG，
∵G在BC的垂直平分线上，
∴BG=CG，
∴BG=DG，
∴∠ABG=∠BDG，
∵∠BDG+∠ADG=180°，
∴∠ABG+∠ACG=180°，
∵∠ABG+∠BGC+∠ACG+∠BAC=360°，
∴∠BAC+∠BGC=180°．