Question

如图，已知P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP沿顺时针方向旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点，连接BG、CG、PG。

（1）△ABP以点B为旋转中心旋转了            度；
（2）求出PG的长度；(3)以点G为圆心，r为半径作⊙G：
①当半径r满足                           时，⊙G与边PC只有一个交点;
②当半径r满足                           时，⊙G与边PC有两个交点;
③当半径r满足       时，⊙G与边PC没有交点。

Answer 1

（1）90；（2）；（3），＜r＜1；r＞.

试题分析：（1）根据题意知∠ABC=90°，将△ABP沿顺时针方向旋转，使点A与点C重合时，旋转角为∠ABC=90°；
（2）连接PG，证明△BPG为等腰直角三角形，BP=BG=2，由勾股定理可求PG；
（3）由旋转的性质可知CG=AP=1，已知PC=3，由（2）可知PG，利用勾股定理的逆定理，判断△PGC为直角三角形．利用面积法求出点G到PC的距离，即可解答.
试题解析：（1）旋转后的△BCG如图所示，旋转角为∠ABC=90°；

（2）连接PG，由旋转的性质可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°，
∴△BPG为等腰直角三角形，
又BP=BG=2，
∴PG= ；
（3）（3）由旋转的性质可知CG=AP=1，已知PC=3，
由（2）可知PG=，
∵PG²+CG²=（）²+1²=9，PC²=9，
∴PG²+CG²=PC²，
∴△PGC为直角三角形．
过G作GE⊥PC，垂足为E

∵
∴.
∴当时，⊙G与边PC只有一个交点;当＜r＜1时，⊙G与边PC有两个交点；当r＞时，⊙G与边PC没 有交点。
考点: 1.旋转的性质；2.勾股定理；3.勾股定理的逆定理；4.正方形的性质.