Question

【题目】如图，已知在△ABC中，AB=AC，tan∠B=2，BC=4，D为BC边的中点，点E在BC边的延长线上，且CE=BC，连接AE，F为线段AE的中点
（1）求线段CF的长；
（2）求∠CAE的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接AD，

∵AB=AC，且D为BC中点，BC=4，

∴AD⊥BC，BD=CD=2，

∵tanB= =2，

∴AD=BDtanB=4，

∴AB=AC= = =2 ，

又∵BC=CE，AF=EF，

∴CF= AB=

（2）解：如图，过点C作CM⊥AE于点M，

∴∠AMC=∠EMC=90°，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE= = =2 ，

∵由勾股定理得；CM2=AC2﹣AM2=CE2﹣EM2，

∴（2 ）2﹣AM2=42﹣（2 ﹣AM）2，

解得：AM= ，

CM= = = ，

∴∠CAE的正弦值是 = =

【解析】（1）连接AD，由等腰三角形三线合一性质可得AD⊥BC，BD=CD=2，根据tanB= =2可得AD=4，由勾股定理得AB=AC=2 ，根据BC=CE、AF=EF即可得CF= AB．（2）过C作CM⊥AE于M，则∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE，由勾股定理得出方程（2 ）2﹣AM2=42﹣（2 ﹣AM）2 ， 求出AM，求出CM，即可求出答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)，还要掌握解直角三角形(解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法))的相关知识才是答题的关键．