题目内容

已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过顶点C,过A,B两点分别作l的垂线AE和BF,且E,F为垂足.
(1)求证:EF=AE+BF;
(2)取AB的中点M,连接ME,MF.试判断△MEF的形状,并说明理由.

(1)证明:∵AE⊥EF,BF⊥EF,∠ACB=90°
∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°,
∴∠EAC+∠ECA=90°,∠ECA+∠FCB=90°,
∴∠EAC=∠FCB,
在△EAC和△FCB中

∴△EAC≌△FCB(AAS),
∴CE=BF,AE=CF,
∴EF=CE+CF=AE+BF,
即EF=AE+BF.

(2)△MEF为等腰直角三角形,
解:△MEF为等腰直角三角形
理由是:连接CM,
∵△ABC是等腰直角三角形,AM=BM,
∴CM⊥AB,∠ACM=∠MCB=45°
∴CM=AM=BM=AB
∵∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+45°
∵∠MCF=∠BCF+∠MCB=∠BCF+45°
∵∠EAC=∠BCF,
∴∠MAE=∠MCF,
在△MAE和△MCF中

∴△MAE≌△MCF(SAS)
∴EM=MF,∠CMF=∠AME,
∵∠AMC=90°,
∵∠AMC=∠CME+∠AME=∠CME+CMF=∠EMF,
∴∠AME=∠EMF=90°,
∴△MEF是等腰直角三角形.
分析:(1)求出∠AEC=∠BFC=90°,∠EAC=∠FCB,根据AAS证△EAC≌△FCB,推出CE=BF,AE=CF即可;
(1)连接CM求出∠MAE=∠MCF,CM=AM,根据SAS证△MAE≌△MCF,推出ME=MF,∠EMA=∠CMF,求出∠EMF=90°即可.
点评:本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰直角三角形的性质,主要考查学生的推理能力,有一定的难度.
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