Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设直线BC的解析式为：y=mx+n，有：

3m+n=0 n=-3

，
解得：m=1，n=-3；
∴直线BC：y=x-3．
将点B、C的坐标代入y=x²+bx+c中，得：

9+3b+c=0 c=-3

，
解得：b=-2，c=-3；
∴抛物线：y=x²-2x-3．

（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，所以点P必在OC的垂直平分线上，则点P的纵坐标为-

3

2

，代入抛物线y=x²-2x-3中，得：
-

3

2

=x²-2x-3，
解得 x₁=

2+ 10

2

，x₂=

2- 10

2

（舍去）
∴点P（

2+ 10

2

，-

3

2

）．